Ο Άγγελος Δεληβορριάς γεννήθηκε το 1937. Σπούδασε Αρχαιολογία και Ιστορία στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και έκανε μεταπτυχιακές σπουδές στο Φράιμπουργκ της Γερμανίας. Το 1965 διορίστηκε, έπειτα από διαγωνισμό, στην Αρχαιολογική Υπηρεσία, από την οποία παραιτήθηκε το 1969.
Το διάστημα 1972-1973 έκανε μεταδιδακτορικές σπουδές στο Παρίσι, τη Σορβόννη και την École Pratique des Hautes Études.
Ως μέλος της Αρχαιολογικής Υπηρεσίας υπηρέτησε στην Κεντρική Υπηρεσία, στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο, στην Εφορεία Αρχαιοτήτων Αττικής, στην Πάτρα και τη Σπάρτη. Το 1973 έγινε διευθυντής του Μουσείου Μπενάκη, από το οποίο αποχώρησε το 2014.
Το 1992 εξελέγη καθηγητής Ιστορίας της Τέχνης στο Τμήμα Θεατρικών Σπουδών του Πανεπιστημίου Αθηνών και από το 1998 έως το 2003 διετέλεσε διευθυντής προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών στο ίδιο Τμήμα. Το 2005 αποχώρησε από το Πανεπιστήμιο ως ομότιμος.
Είναι η «ψυχή» του Μπενάκη από το 1974 έως το 2014. Οργάνωσε και επιμελήθηκε 130 εκθέσεις στην Ελλάδα και 39 εκθέσεις σε μεγάλες πόλεις του εξωτερικού. Παρακαταθήκη του το Μουσείο Ισλαμικής Τέχνης αλλά και το Μουσείο Νίκου Χατζηκυριάκου Γκίκα.
